2017年11月19日日曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題7.を取り組んでみる。


    1. f x = b + x n n - b n - 1 n - 1 x f ' x = n b + x n n - 1 1 n - b n - 1 n - 1 = b + x n n - 1 - b n - 1 n - 1 = b + x n - 1 n n - 1 n - 1 - b n n n - 1 n - 1
      f ' x = 0 b + x n - 1 = b n x = b n n - 1 - b = b n - 1

      よって、関数 f は

      x = b n - 1

      で最小値となる。

      f b n - 1 = b + b n - 1 n n - 1 - b n - 1 n - 1 b n - 1 = n b n n - 1 n - 1 - b n - 1 n - 1 = b n - 1 n - 1 - b n - 1 n - 1 = 0

      よって、

      f x 0 b + x n n b n - 1 n - 1 x

      (証明終)


    2. b = a 1 + + a n - 1 , x = a n

      とおく。

      a 1 + + a n n n a 1 + + a n - 1 n - 1 n - 1 a n a 1 a n - 1 · a n = a 1 a n

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の不等式は成り立つ。
      (証明 終)

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