数学 - 代数学 - 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(微分法、不等式、相加平均、相乗平均、一般化)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題7.を取り組んでみる。

7. 1. 
      
      $\begin{array}{}f\left(x\right)={\left(\frac{b+x}{n}\right)}^n-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}x\\ f\text{'}\left(x\right)=n{\left(\frac{b+x}{n}\right)}^{n-1}\frac{1}{n}-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}\\ ={\left(\frac{b+x}{n}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}\\ ={\left(\frac{\left(b+x\right)\left(n-1\right)}{n\left(n-1\right)}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{b_n}{n\left(n-1\right)}\right)}^{n-1}\end{array}$
      $\begin{array}{}f\text{'}\left(x\right)=0\\ \left(b+x\right)\left(n-1\right)=b_n\\ x=\frac{bn}{n-1}-b\\ =\frac{b}{n-1}\end{array}$

      よって、関数 f は

      $x=\frac{b}{n-1}$

      で最小値となる。

      $\begin{array}{}f\left(\frac{b}{n-1}\right)={\left(\frac{b+\frac{b}{n-1}}{n}\right)}^{n-1}-\left(\frac{b}{n-1}\right)\frac{n^{-1}b}{n-1}\\ ={\left(\frac{nb}{n\left(n-1\right)}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}\\ ={\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}=0\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{}f\left(x\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ {\left(\frac{b+x}{n}\right)}^n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}x\end{array}$

      （証明終）

   2. 
      
      $b=a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1},x=a_n$

      とおく。

      $\begin{array}{}{\left(\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}\right)}^n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{n-1}}{n-1}\right)}^{n-1}{a}_n\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_n\\ =a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の不等式は成り立つ。
      （証明 終）