2017年11月13日月曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題1.を取り組んでみる。

問1.

Sに含まれない自然数全部の集合をS'とする。

S'が空集合のとき、Sすべての自然数の集合Nと一致する。

S'が空集合ではないと仮定する。

S'は空集合ではない自然数の集合なので、整列性より最小元をもつ。その元をn0とする。

(1')より、0はSの元なので、n0は0ではない。すなわち、n0 > 0である。

また、n0は整数でもあるので、n0は n0 > 0となる整数である。

n0はSに含まれない最小の自然数なので、0 ≤ k < n0 を満たすすべての自然数はSの元である。

ゆえに、(2')からn0はSに含まれる。

これはn0がSに含まれないすべての自然数の集合S'の元であることと矛盾する。

よって、S'は空集合、すなわちSはすべての自然数の集合Nと一致する。(証明終)

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ