数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 連立1次方程式(I)(基本解、一般解、行列の行基本変形、3×3行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、12(連立1次方程式(I))、問題3.を取り組んでみる。

1. 1. 
      
      $(\begin{array}{ccc}-4& 0& -8\\ -4& 1& -5\\ 8& 0& 16\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}-4& 0& -8\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array})$

      基本解

      $u_1=\left(-2,-3,1\right)$

      一般解

      $\begin{array}{}{x}_1=-2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ x_2=-3\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ x_3=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$
   2. 
      
      $(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 0& 5\\ 0& -4& 3\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 3& 0& 5\\ 0& -4& 3\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}0& 6& 4\\ 3& 0& 5\\ 0& -4& 3\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}0& 12& 8\\ 3& 0& 5\\ 0& -4& 3\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}0& 0& 17\\ 3& 0& 5\\ 0& -4& 3\end{array})$
      $(\begin{array}{ccc}0& 0& 17\\ 3& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array})$

      方程式の解は0のみから成る。いいかえれば、自明な解しかもたない。

      $\begin{array}{}{x}_1=0\\ x_2=0\\ x_3=0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix

print('1.')
xs = symbols('x1, x2, x3')

MS = [Matrix([[4, -2, 2],
              [-4, 1, -5],
              [4, 1, 11]]),
      Matrix([1, 2, 3, 3, 0, 5, 0, -4, 3]).reshape(3, 3)]

x = Matrix(xs).reshape(3, 1)
for i, M in enumerate(MS):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [M, solve(M * x, xs)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
(a)
⎡4   -2  2 ⎤
⎢          ⎥
⎢-4  1   -5⎥
⎢          ⎥
⎣4   1   11⎦

{x₁: -2⋅x₃, x₂: -3⋅x₃}


(b)
⎡1  2   3⎤
⎢        ⎥
⎢3  0   5⎥
⎢        ⎥
⎣0  -4  3⎦

{x₁: 0, x₂: 0, x₃: 0}


$