数学 - Python - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族、和集合、共通部分、分配律の一般化)

集合・位相入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題2を取り組んでみる。

2. • (5.1)について。

     $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\cap B\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\wedge x\in B\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\wedge x\in B\right]\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\cap B\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }\left(A_{\lambda }\cap B\right)}\\ \\ \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\cap B={\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }\left(A_{\lambda }\cap B\right)}\end{array}$

   • (5.1)'について。

     $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\cup B\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\vee x\in B\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\vee x\in B\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\cup B\right]\\ \iff {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }\left(A_{\lambda }\cup B\right)}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn3_unweighted
from sympy import pprint, FiniteSet

print('2.')
X = FiniteSet(*range(10))
A1 = FiniteSet(*range(5))
A2 = FiniteSet(*range(2, 6))
B = FiniteSet(*range(3, 7))

for t in [X, A1, A2, B]:
    pprint(t)
    print()

for l, r in [((A1 | A2) & B, (A1 & B) | (A2 & B)),
             ((A1 & A2) | B, (A1 | B) & (A2 | B))]:
    for t in [l, r, l == r]:
        pprint(t)
        print()
    print()

venn3_unweighted(subsets=(A1, A2, B))
plt.savefig('sample2.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1, 2, 3, 4}

{2, 3, 4, 5}

{3, 4, 5, 6}

{3, 4, 5}

{3, 4, 5}

True


{2, 3, 4, 5, 6}

{2, 3, 4, 5, 6}

True


$