数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(合成写像、全射、単射)

集合・位相入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題10を取り組んでみる。

10. 1. 
       

       bを集合Bの任意の元とする。

       g(b) = cとする。

       合成写像は全射なので、集合Aのある元aが存在して次のことが成り立つ。

       $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(a\right)=c\\ g\left(f\left(a\right)\right)=c\\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(b\right)\end{array}$

       gは単射なので、f(a) = b。よって、fは全射である。

    2. 
       

       b1、b2を集合Bの任意の元とする。

       g(b1) = g(b2)と仮定する。

       fは全射なので、集合Aのある元a1、a2が存在して、f(a1) = b1、f(a2) = b2が成り立つ。

       よってg(f(a1)) = g(f(a2))が成り立つ。

       合成写像は単射なので、a1 = a2が成り立つ。

       ゆえに、f(a1) = f(a2)。

       以上より、b1 = b2となるので、写像gは単射である。