数学 - 集合論 - 集合算 - 積集合、ファイバー積(積集合、和集合、共通部分)

学習環境

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.7(積集合、ファイバー積)の練習問題9.を取り組んでみる。

1. (x, y) を積集合X × Y の任意の元とする。
  $\begin{array}{l} (x, y) \in (A \times B) \cap (A' \times B') \\ \Leftrightarrow (x, y) \in A \times B \land (x, y) \in A' \times B' \\ \Leftrightarrow x \in A \land y \in B \land x \in A' \land y \in B' \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in A' \land y \in B \land y \in B' \\ \Leftrightarrow x \in A \cap A' \land y \in B \cap B' \\ \Leftrightarrow (x, y) \in (A \cap A') \times (B \cap B') \\ (A \times B) \cap (A' \times B') = (A \cap A') \times (B \cap B') \end{array}$
2. (x, y) を積集合 X × Y の任意の元とする。
  $\begin{array}{l} (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times B') \cup (A' \times B) \cup (A' \times B') \\ \Leftrightarrow (x, y) \in A \times B \lor \\ (x, y) \in A \times B' \lor \\ (x, y) \in A' \times B \lor \\ (x, y) \in A' \times B' \\ \Leftrightarrow (x \in A \land y \in B) \lor \\ (x \in A \land y \in B') \lor \\ (x \in A' \land y \in B) \lor \\ (x \in A' \land y \in B') \\ \Leftrightarrow (x \in A \land y \in B \cup B') \lor (x \in A' \land y \in B \cup B') \\ \Leftrightarrow x \in A \cup A' \land y \in B \cup B' \\ \Leftrightarrow (x, y) \in (A \cup A') \times (B \cup B') \\ (A \times B) \cup (A \times B') \cup (A' \times B) \cup (A' \times B') = (A \cup A') \times (B \cup B') \end{array}$

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