数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(n × n行列、n × n次元、基底、積)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   AEij行列はn × n行列となる。(k, l)成分について。

   $a_k{e}^l={\displaystyle \sum _{h=1}^n{a}_{kh}{e}_{hl}}$

   h = i かつ l = jのとき。

   $e_{hl}=1$

   h = i ではない、または l = j ではないとき。

   $e_{hl}=0$

   よってAEijは、j列は行列Aのi列と等しく、他の成分は0のn × n行列となる。

   EijAはn × n行列となる。(k, l)成分について。

   $e_k{a}^l={\displaystyle \sum _{h=1}^n{e}_{kh}{a}_{hl}}$

   k = i かつ h = j のとき。

   $e_{kh}=1$

   k = i ではない、または h = j ではないとき。

   $e_{kh}=0$

   よってEijA行列は、i行はAのj行と等しく、他の成分は0の n × n 行列となる。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('9.')
n = 5
Zero = Matrix([[0 for j in range(n)]
               for i in range(n)])

MS = [[Matrix([[1 if i0 == i and j0 == j else 0 for j0 in range(n)]
               for i0 in range(n)])
       for j in range(n)]
      for i in range(n)]
i = 2
j = 3
print(f'i = {i}, j = {j}')
Eij = MS[i - 1][j - 1]

A = Matrix(range(25)).reshape(5, 5)

for X in [Eij, A, A * Eij, Eij * A]:
    pprint(X)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
9.
i = 2, j = 3
⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  1  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡0   1   2   3   4 ⎤
⎢                  ⎥
⎢5   6   7   8   9 ⎥
⎢                  ⎥
⎢10  11  12  13  14⎥
⎢                  ⎥
⎢15  16  17  18  19⎥
⎢                  ⎥
⎣20  21  22  23  24⎦

⎡0  0  1   0  0⎤
⎢              ⎥
⎢0  0  6   0  0⎥
⎢              ⎥
⎢0  0  11  0  0⎥
⎢              ⎥
⎢0  0  16  0  0⎥
⎢              ⎥
⎣0  0  21  0  0⎦

⎡0   0   0   0   0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢10  11  12  13  14⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   0   0   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   0   0   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎣0   0   0   0   0 ⎦

$