数学 - Python - 線型代数 - ベクトル空間 - 基底と次元(II)(3次元、ある基底に関する座標)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、8(基底と次元(II))、問6.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}{c}_1\left(0,1,-1\right)+c_2\left(1,1,0\right)+c_3\left(1,0,2\right)=0\\ c_2+c_3=0\\ c_1+c_2=0\\ -c_1+2c_3=0\\ \\ c_3=-c_2\\ \\ c_2=-c_1\\ c_3=-\left(-c_1\right)=c_1\\ \\ -c_1+2c_1=0\\ c_1=0\\ c_2=0\\ c_3=0\end{array}$

   よって、a、b、cは一次独立。

   $\begin{array}{l}{c}_1\left(0,1,-1\right)+c_2\left(1,1,0\right)+c_3\left(1,0,2\right)=\left(-1,2,4\right)\\ c_2+c_3=-1\\ c_1+c_2=2\\ -c_1+2c_3=4\\ \\ c_3=-1-c_2\\ c_2=2-c_1\\ c_3=-1-\left(2-c_1\right)=-3+c_1\\ \\ -c_1+2\left(-3+c_1\right)=4\\ c_1=10\\ c_2=2-10=-8\\ c_3=-3+10=7\end{array}$

   よってuの座標は。(10, -8, 7)。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix

print('5.')
a = Matrix([0, 1, -1])
b = Matrix([1, 1, 0])
c = Matrix([1, 0, 2])
z = Matrix([0, 0, 0])
u = Matrix([-1, 2, 4])
c1, c2, c3 = symbols('c1 c2 c3', real=True)

eq = c1 * a + c2 * b + c3 * c

pprint(eq)
for v in [z, u]:
    pprint(v)
    pprint(solve(eq - v, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
5.
⎡ c₂ + c₃  ⎤
⎢          ⎥
⎢ c₁ + c₂  ⎥
⎢          ⎥
⎣-c₁ + 2⋅c₃⎦
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦
[{c₁: 0, c₂: 0, c₃: 0}]

⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎣4 ⎦
[{c₁: 10, c₂: -8, c₃: 7}]

$