数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 集合の概念(有理数、整数、無理数(√2))

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、1(集合の概念)、練習問題4を取り組んでみる。

4. • 有理数の場合。

     1. 
        $\begin{array}{l}a,b,c,d\in \mathbb{Q}\\ x=a+b\sqrt{2}\\ y=c+d\sqrt{2}\\ \\ x+y=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\sqrt{2}\\ a+c\in \mathbb{Q}\\ b+d\in \mathbb{Q}\\ \\ x-y=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)\sqrt{2}\\ a-c\in \mathbb{Q}\\ b+d\in \mathbb{Q}\\ \\ xy=\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c+d\sqrt{2}\right)\\ =\left(ac+2bd\right)+\left(ad+bc\right)\sqrt{2}\\ ac+2bd\in \mathbb{Q}\\ ad+bc\in \mathbb{Q}\end{array}$
     2. 
        $\begin{array}{l}a,b\in \mathbb{Q}\\ a\ne 0\vee b\ne 0\\ x=a+b\sqrt{2}\\ x^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt{2}}\\ =\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}\\ =\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\\ \frac{a}{a^2-2b^2}\in \mathbb{Q}\\ \frac{-b}{a^2-2b^2}\in \mathbb{Q}\end{array}$

   • 整数の場合。

     1. 
        $\begin{array}{l}a,b,c,d\in \mathbb{Z}\\ x=a+b\sqrt{2}\\ y=c+d\sqrt{2}\\ \\ x+y=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\sqrt{2}\\ a+c\in \mathbb{Z}\\ b+d\in \mathbb{Z}\\ \\ x-y=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)\sqrt{2}\\ a-c\in \mathbb{Z}\\ b+d\in \mathbb{Z}\\ \\ xy=\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c+d\sqrt{2}\right)\\ =\left(ac+2bd\right)+\left(ad+bc\right)\sqrt{2}\\ ac+2bd\in \mathbb{Z}\\ ad+bc\in \mathbb{Z}\end{array}$

     2. 逆数については成り立たない。

        反例。

        $\begin{array}{l}a=0,b=1\\ x=0+\sqrt{2}\\ x^{-1}=\frac{1}{0+\sqrt{2}}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ =0+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}\end{array}$