数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 – 行列式の存在(関数、行列式、導関数、微分)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、3(行列式の存在)、練習問題7、8、9.を取り組んでみる。

7. 
   ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$
8. 
   $\begin{array}{l}\left(t+1\right)\left(2t+5\right)-\left(t-1\right)t\\ =2t^2+7t+5-t^2+t\\ =t^2+6t+5\\ =\left(t+1\right)\left(t+5\right)\end{array}$
9. 
   $\begin{array}{l}\phi \left(t\right)=f\left(t\right)g\text{'}\left(t\right)-g\left(t\right)f\text{'}\left(t\right)\\ \\ \phi \text{'}\left(t\right)=f\text{'}\left(t\right)g\text{'}\left(t\right)+f\left(t\right)g\text{'}\text{'}\left(t\right)-\left(g\text{'}\left(t\right)f\text{'}\left(t\right)+g\left(t\right)f\text{'}\text{'}\left(t\right)\right)\\ =f\left(t\right)g\text{'}\text{'}\left(t\right)-f\text{'}\text{'}\left(t\right)g\left(t\right)\\ \\ \phi \text{'}\left(t\right)=f\left(t\right)g\text{'}\text{'}\left(t\right)-g\left(t\right)f\text{'}\text{'}\left(t\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, sin, cos, Function, Derivative

print('7.')
t = symbols('t')
m = Matrix([[sin(t), cos(t)],
            [-cos(t), sin(t)]])
pprint(m)
pprint(m.det())

print('8.')
m = Matrix([[t + 1, t - 1],
            [t, 2 * t + 5]])
pprint(m)
pprint(m.det())

print('9.')
f = Function('f')
g = Function('g')
m1 = Matrix([[f(t), g(t)],
             [Derivative(f(t), t, 1), Derivative(g(t), t, 1)]])
m2 = Matrix([[f(t), g(t)],
             [Derivative(f(t), t, 2), Derivative(g(t), t, 2)]])

pprint(m1)
pprint(m2)

d1 = m1.det()
pprint(d1)
d2 = m2.det()
pprint(d2)

d11 = Derivative(d1, t, 1)
pprint(d11)

a = d11.doit()
b = d2.doit()
pprint(a)
pprint(b)
print(a == b)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample7.py
7.
⎡sin(t)   cos(t)⎤
⎢               ⎥
⎣-cos(t)  sin(t)⎦
   2         2   
sin (t) + cos (t)
8.
⎡t + 1   t - 1 ⎤
⎢              ⎥
⎣  t    2⋅t + 5⎦
-t⋅(t - 1) + (t + 1)⋅(2⋅t + 5)
9.
⎡  f(t)      g(t)  ⎤
⎢                  ⎥
⎢d         d       ⎥
⎢──(f(t))  ──(g(t))⎥
⎣dt        dt      ⎦
⎡  f(t)       g(t)   ⎤
⎢                    ⎥
⎢  2          2      ⎥
⎢ d          d       ⎥
⎢───(f(t))  ───(g(t))⎥
⎢  2          2      ⎥
⎣dt         dt       ⎦
     d               d       
f(t)⋅──(g(t)) - g(t)⋅──(f(t))
     dt              dt      
       2                2      
      d                d       
f(t)⋅───(g(t)) - g(t)⋅───(f(t))
       2                2      
     dt               dt       
d ⎛     d               d       ⎞
──⎜f(t)⋅──(g(t)) - g(t)⋅──(f(t))⎟
dt⎝     dt              dt      ⎠
       2                2      
      d                d       
f(t)⋅───(g(t)) - g(t)⋅───(f(t))
       2                2      
     dt               dt       
       2                2      
      d                d       
f(t)⋅───(g(t)) - g(t)⋅───(f(t))
       2                2      
     dt               dt       
True
$