数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 曲線をえがくこと(多項式、最大点、最小点、次数、符号、偶奇性)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題17、18、19.を取り組んでみる。

1. $\begin{array}{l} f' (x) = 6 x^{5} - 1 \\ 6 x^{5} - 1 = 0 \\ x = - \frac{1}{6^{\frac{1}{5}}} \\ x < - \frac{1}{6^{\frac{1}{5}}} \\ f' (x) < - \frac{1}{6^{\frac{1}{5}}} \\ x > - \frac{1}{6^{\frac{1}{5}}} \\ f' (x) > 0 \end{array}$
  最小点をもつ。
2. $\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} f (x) = \infty \\ \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty \end{array}$
  最小点をもっていない。
3. ここからは最大次数が偶数か奇数か、またその符号で判断。
  
  最小点をもっていない。
4. 最小点をもたない。
5. 最小点をもつ。
6. 最小点をもっていない。
最大点をもっているのは、(c)。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot

x = symbols('x')
fs = [x ** 6 - x + 2,
      x ** 5 - x + 2,
      - x ** 6 - x + 2,
      -x ** 5 - x + 2,
      x ** 6 + x + 2,
      x ** 5 + x + 2]

for i, f in enumerate(fs):
    c = chr(ord("a") + i)
    print(f'({c})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample17_{c}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample17.py
(a)
d ⎛ 6        ⎞
──⎝x  - x + 2⎠
dx            
   5    
6⋅x  - 1
⎡                                    ________                                _
⎢                          4/5      ╱ √5   5                       4/5      ╱ 
⎢ 4/5     4/5       4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─      4/5       4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱  
⎢6       6      √5⋅6             ╲╱   8    8     6      √5⋅6             ╲╱   
⎢────, - ──── + ─────── - ───────────────────, - ──── + ─────── + ────────────
⎣ 6       24       24              6              24       24              6  

_______                                __________                             
√5   5                       4/5      ╱   √5   5                       4/5    
── + ─         4/5    4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─         4/5    4/5   6   ⋅ⅈ⋅ 
8    8     √5⋅6      6             ╲╱     8    8     √5⋅6      6             ╲
───────, - ─────── - ──── - ─────────────────────, - ─────── - ──── + ────────
              24      24              6                 24      24            

   __________⎤
  ╱   √5   5 ⎥
 ╱  - ── + ─ ⎥
╱     8    8 ⎥
─────────────⎥
  6          ⎦
    ⎛ 6        ⎞
lim ⎝x  - x + 2⎠
x─→∞            
∞
     ⎛ 6        ⎞
 lim ⎝x  - x + 2⎠
x─→-∞            
∞

(b)
d ⎛ 5        ⎞
──⎝x  - x + 2⎠
dx            
   4    
5⋅x  - 1
⎡  3/4    3/4    3/4      3/4  ⎤
⎢-5      5     -5   ⋅ⅈ   5   ⋅ⅈ⎥
⎢──────, ────, ────────, ──────⎥
⎣  5      5       5        5   ⎦
    ⎛ 5        ⎞
lim ⎝x  - x + 2⎠
x─→∞            
∞
     ⎛ 5        ⎞
 lim ⎝x  - x + 2⎠
x─→-∞            
-∞

(c)
d ⎛   6        ⎞
──⎝- x  - x + 2⎠
dx              
     5    
- 6⋅x  - 1
⎡                                    __________                               
⎢                          4/5      ╱   √5   5                          4/5   
⎢  4/5    4/5       4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─         4/5    4/5   √5⋅6   ⋅ⅈ⋅
⎢-6      6      √5⋅6             ╲╱     8    8     √5⋅6      6                
⎢──────, ──── + ─────── + ─────────────────────, - ─────── + ──── - ──────────
⎣  6      24       24               6                 24      24              

    __________              __________                  __________     _______
   ╱   √5   5     4/5      ╱   √5   5           4/5    ╱   √5   5     ╱ √5   5
  ╱  - ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    4/5   6   ⋅  ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─
╲╱     8    8           ╲╱     8    8   6           ╲╱     8    8  ╲╱   8    8
────────────── - ─────────────────────, ──── + ───────────────────────────────
 12                        12            24                   6               

_                 ________              ________              __________      
        4/5      ╱ √5   5     4/5      ╱ √5   5     4/5      ╱   √5   5       
    √5⋅6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    √5⋅
              ╲╱   8    8           ╲╱   8    8           ╲╱     8    8       
─ - ────────────────────── - ─────────────────── - ───────────────────── + ───
              24                      24                     24               

           __________             __________     ________                     
 4/5      ╱   √5   5      4/5    ╱   √5   5     ╱ √5   5            4/5      ╱
6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─     6   ⋅  ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─     4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱ 
       ╲╱     8    8          ╲╱     8    8  ╲╱   8    8    6             ╲╱  
─────────────────────, - ──────────────────────────────── + ──── - ───────────
        24                              6                    24              2

__________              ________                 __________                 __
   √5   5     4/5      ╱ √5   5        4/5      ╱   √5   5        4/5      ╱ √
 - ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    √5⋅6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    √5⋅6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ─
   8    8           ╲╱   8    8              ╲╱     8    8              ╲╱   8
────────── + ─────────────────── + ──────────────────────── + ────────────────
4                     24                      24                        24    

______⎤
5   5 ⎥
─ + ─ ⎥
    8 ⎥
──────⎥
      ⎦
    ⎛   6        ⎞
lim ⎝- x  - x + 2⎠
x─→∞              
-∞
     ⎛   6        ⎞
 lim ⎝- x  - x + 2⎠
x─→-∞              
-∞

(d)
d ⎛   5        ⎞
──⎝- x  - x + 2⎠
dx              
     4    
- 5⋅x  - 1
⎡      3/4       3/4          3/4       3/4        3/4       3/4        3/4   
⎢  √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ    √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ  √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ  √2⋅5      
⎢- ─────── - ─────────, - ─────── + ─────────, ─────── - ─────────, ─────── + 
⎣     10         10          10         10        10         10        10     

    3/4  ⎤
√2⋅5   ⋅ⅈ⎥
─────────⎥
    10   ⎦
    ⎛   5        ⎞
lim ⎝- x  - x + 2⎠
x─→∞              
-∞
     ⎛   5        ⎞
 lim ⎝- x  - x + 2⎠
x─→-∞              
∞

(e)
d ⎛ 6        ⎞
──⎝x  + x + 2⎠
dx            
   5    
6⋅x  + 1
⎡                                    __________                               
⎢                          4/5      ╱   √5   5                          4/5   
⎢  4/5    4/5       4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─         4/5    4/5   √5⋅6   ⋅ⅈ⋅
⎢-6      6      √5⋅6             ╲╱     8    8     √5⋅6      6                
⎢──────, ──── + ─────── + ─────────────────────, - ─────── + ──── - ──────────
⎣  6      24       24               6                 24      24              

    __________              __________                  __________     _______
   ╱   √5   5     4/5      ╱   √5   5           4/5    ╱   √5   5     ╱ √5   5
  ╱  - ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    4/5   6   ⋅  ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─
╲╱     8    8           ╲╱     8    8   6           ╲╱     8    8  ╲╱   8    8
────────────── - ─────────────────────, ──── + ───────────────────────────────
 12                        12            24                   6               

_                 ________              ________              __________      
        4/5      ╱ √5   5     4/5      ╱ √5   5     4/5      ╱   √5   5       
    √5⋅6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    √5⋅
              ╲╱   8    8           ╲╱   8    8           ╲╱     8    8       
─ - ────────────────────── - ─────────────────── - ───────────────────── + ───
              24                      24                     24               

           __________             __________     ________                     
 4/5      ╱   √5   5      4/5    ╱   √5   5     ╱ √5   5            4/5      ╱
6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─     6   ⋅  ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─     4/5   6   ⋅ⅈ⋅  ╱ 
       ╲╱     8    8          ╲╱     8    8  ╲╱   8    8    6             ╲╱  
─────────────────────, - ──────────────────────────────── + ──── - ───────────
        24                              6                    24              2

__________              ________                 __________                 __
   √5   5     4/5      ╱ √5   5        4/5      ╱   √5   5        4/5      ╱ √
 - ── + ─    6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    √5⋅6   ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    √5⋅6   ⋅ⅈ⋅  ╱  ─
   8    8           ╲╱   8    8              ╲╱     8    8              ╲╱   8
────────── + ─────────────────── + ──────────────────────── + ────────────────
4                     24                      24                        24    

______⎤
5   5 ⎥
─ + ─ ⎥
    8 ⎥
──────⎥
      ⎦
    ⎛ 6        ⎞
lim ⎝x  + x + 2⎠
x─→∞            
∞
     ⎛ 6        ⎞
 lim ⎝x  + x + 2⎠
x─→-∞            
∞

(f)
d ⎛ 5        ⎞
──⎝x  + x + 2⎠
dx            
   4    
5⋅x  + 1
⎡      3/4       3/4          3/4       3/4        3/4       3/4        3/4   
⎢  √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ    √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ  √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ  √2⋅5      
⎢- ─────── - ─────────, - ─────── + ─────────, ─────── - ─────────, ─────── + 
⎣     10         10          10         10        10         10        10     

    3/4  ⎤
√2⋅5   ⋅ⅈ⎥
─────────⎥
    10   ⎦
    ⎛ 5        ⎞
lim ⎝x  + x + 2⎠
x─→∞            
∞
     ⎛ 5        ⎞
 lim ⎝x  + x + 2⎠
x─→-∞            
-∞

$

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JavaScript

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    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_a0 = document.querySelector('#a0'),
    input_b0 = document.querySelector('#b0'),
    input_c0 = document.querySelector('#c0'),
    input_d0 = document.querySelector('#d0'),    
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_a0, input_b0, input_c0, input_d0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => x ** 7 + x,
    f1 = (x) => 7 * x ** 6 + 1,
    g = (x0) => (x) => f1(x0) * (x - x0) + f(x0),
    h = (x) => x ** 8 + x;
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        a0 = parseFloat(input_a0.value),
        b0 = parseFloat(input_b0.value),
        c0 = parseFloat(input_d0.value),
        d0 = parseFloat(input_d0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        f1 = (x) => (x - a0) * (x - b0),
        f2 = (x) => f1(x) * (x - c0),
        f3 = (x) => f2(x) * (x - d0),
        fns = [[f1, 'red'],
               [f2, 'green'],
               [f3, 'blue']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
a = b = c = d =

Kamimura's blog

2017年7月26日水曜日

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