数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 曲線をえがくこと(7つの性質、5次多項式、6次多項式)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題13、14.を取り組んでみる。

13. 1. 
       

       x軸との交点は(0, 0)。

       y軸との交点は(0, 0)。

    2. 
       

       臨界点。

       $f\text{'}\left(x\right)=5x^4+1\ge 1$

       臨界点は無い。

    3. 
       

       増加する範囲は全区間。

    4. 
       

       減少する範囲は無い。

    5. 
       

       極大点、極小点は無い。

    6. 
       

       $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\infty$

       $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

    7. 
       

       未定義の区間はない。

14. 1. 
       

       x軸との交点。

       $\begin{array}{l}x\left(x^5+6\right)=0\\ x=-6^{\frac{1}{5}},0\\ \left(-6^{\frac{1}{5}},0\right),\left(0,0\right)\end{array}$

       y軸との交点は(0, 0)。

    2. 
       $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=6x^5+6\\ =6\left(x^5+1\right)\\ x=-1\end{array}$
    3. 
       

       増加する範囲。

       $-1\le x$
    4. 
       

       減少する範囲。

       $x\le -1$
    5. 
       

       極大点はない。

       極小点はx = -1。

    6. 
       

       $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

    7. 
       

       未定義の区間は無い。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, tan, plot

x = symbols('x')
fs = [x ** 5 + x,
      x ** 6 + 6 * x]

for i, f in enumerate(fs, 9):
    print(f'{i}.')
    pprint(f)
    pprint(solve(f))
    pprint(f.subs({x: 0}))
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    print()

p = plot(*fs, show=False, legend=True)
for i, color in enumerate(['red', 'green']):
    p[i].line_color = color

p.save('sample13.svg')

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample13.py
9.
 5    
x  + x
⎡     √2   √2⋅ⅈ    √2   √2⋅ⅈ  √2   √2⋅ⅈ  √2   √2⋅ⅈ⎤
⎢0, - ── - ────, - ── + ────, ── - ────, ── + ────⎥
⎣     2     2      2     2    2     2    2     2  ⎦
0
d ⎛ 5    ⎞
──⎝x  + x⎠
dx        
   4    
5⋅x  + 1
⎡      3/4       3/4          3/4       3/4        3/4       3/4        3/4   
⎢  √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ    √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ  √2⋅5      √2⋅5   ⋅ⅈ  √2⋅5      
⎢- ─────── - ─────────, - ─────── + ─────────, ─────── - ─────────, ─────── + 
⎣     10         10          10         10        10         10        10     

    3/4  ⎤
√2⋅5   ⋅ⅈ⎥
─────────⎥
    10   ⎦
    ⎛ 5    ⎞
lim ⎝x  + x⎠
x─→∞        
∞
     ⎛ 5    ⎞
 lim ⎝x  + x⎠
x─→-∞        
-∞

10.
 6      
x  + 6⋅x
⎡                                                                             
⎢                                                                             
⎢           5 ___      5 ___               __________       5 ___   5 ___   √5
⎢    5 ___  ╲╱ 6    √5⋅╲╱ 6    5 ___      ╱   √5   5     √5⋅╲╱ 6    ╲╱ 6      
⎢0, -╲╱ 6 , ───── + ──────── + ╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─ , - ──────── + ───── - ──
⎣             4        4               ╲╱     8    8        4         4       

             __________               __________                              
 5 ___      ╱   √5   5    5 ___      ╱   √5   5                               
⋅╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    ╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─   5 ___             __________
         ╲╱     8    8            ╲╱     8    8   ╲╱ 6    5 ___    ╱   √5   5 
─────────────────────── - ──────────────────────, ───── + ╲╱ 6 ⋅  ╱  - ── + ─ 
          2                         2               4           ╲╱     8    8 

                               ________               ________               _
                   5 ___      ╱ √5   5    5 ___      ╱ √5   5    5 ___      ╱ 
     ________   √5⋅╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    ╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    ╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  
    ╱ √5   5               ╲╱   8    8            ╲╱   8    8            ╲╱   
⋅  ╱  ── + ─  - ─────────────────────── - ──────────────────── - ─────────────
 ╲╱   8    8               4                       4                       4  

_________                  __________                                         
  √5   5       5 ___      ╱   √5   5                                          
- ── + ─    √5⋅╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─               __________     ________   5
  8    8               ╲╱     8    8     5 ___    ╱   √5   5     ╱ √5   5    ╲
───────── + ─────────────────────────, - ╲╱ 6 ⋅  ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─  + ─
                        4                      ╲╱     8    8  ╲╱   8    8     

                   __________               ________                  ________
       5 ___      ╱   √5   5    5 ___      ╱ √5   5       5 ___      ╱   √5   
 ___   ╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    ╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    √5⋅╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + 
╱ 6            ╲╱     8    8            ╲╱   8    8               ╲╱     8    
──── - ────────────────────── + ──────────────────── + ───────────────────────
 4               4                       4                         4          

__                  ________⎤
5       5 ___      ╱ √5   5 ⎥
─    √5⋅╲╱ 6 ⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─ ⎥
8               ╲╱   8    8 ⎥
── + ───────────────────────⎥
                4           ⎦
0
d ⎛ 6      ⎞
──⎝x  + 6⋅x⎠
dx          
   5    
6⋅x  + 6
⎡                                                   __________         _______
⎢                                                  ╱   √5   5         ╱   √5  
⎢                   __________             √5⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    ⅈ⋅  ╱  - ── +
⎢    1   √5        ╱   √5   5     √5   1        ╲╱     8    8      ╲╱     8   
⎢-1, ─ + ── + ⅈ⋅  ╱  - ── + ─ , - ── + ─ - ─────────────────── - ─────────────
⎣    4   4      ╲╱     8    8     4    4            2                   2     

___                                             ________         ________     
 5                                             ╱ √5   5         ╱ √5   5      
 ─           __________     ________   √5⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─    ⅈ⋅  ╱  ── + ─    ⅈ⋅
 8   1      ╱   √5   5     ╱ √5   5         ╲╱   8    8      ╲╱   8    8      
───, ─ +   ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─  - ───────────────── - ────────────── - ──
     4   ╲╱     8    8  ╲╱   8    8            4                 4            

    __________            __________                                          
   ╱   √5   5            ╱   √5   5                                           
  ╱  - ── + ─    √5⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─         __________     ________       ⅈ⋅  
╲╱     8    8         ╲╱     8    8        ╱   √5   5     ╱ √5   5    1     ╲╱
────────────── + ───────────────────, -   ╱  - ── + ─ ⋅  ╱  ── + ─  + ─ - ────
     4                    4             ╲╱     8    8  ╲╱   8    8    4       

  __________         ________            __________            ________⎤
 ╱   √5   5         ╱ √5   5            ╱   √5   5            ╱ √5   5 ⎥
╱  - ── + ─    ⅈ⋅  ╱  ── + ─    √5⋅ⅈ⋅  ╱  - ── + ─    √5⋅ⅈ⋅  ╱  ── + ─ ⎥
     8    8      ╲╱   8    8         ╲╱     8    8         ╲╱   8    8 ⎥
──────────── + ────────────── + ─────────────────── + ─────────────────⎥
   4                 4                   4                    4        ⎦
    ⎛ 6      ⎞
lim ⎝x  + 6⋅x⎠
x─→∞          
∞
     ⎛ 6      ⎞
 lim ⎝x  + 6⋅x⎠
x─→-∞          
∞

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-2">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="2">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-2">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="2">
<br>
<label for="dx0">dx0 = </label>
<input id="dx0" type="number" min="0" value="0.05">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample13.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_dx0 = document.querySelector('#dx0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
             input_dx0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => x ** 5 + x,
    f1 = (x) => 5 * x ** 4 + 1,
    g = (x0) => (x) => f1(x0) * (x - x0) + f(x0);
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        dx0 = parseFloat(input_dx0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f, 'green']],
        fns1 = [],
        fns2 = [[g, 'orange']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
dx0 =