数学 – 集合の濃度 - 可算集合, 非可算集合(可算集合, 部分集合族)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合の濃度)、2(可算集合, 非可算集合)、問題2.を解いてみる。

問題2.

$\begin{array}{l}cardA=card{\mathbb{Z}}^{+}\times \mathbb{N}\\ A\sim {\mathbb{Z}}^{+}\times \mathbb{N}\\ \exists \mathfrak{F}\left(A,{\mathbb{Z}}^{+}\times \mathbb{N}\right)\\ \forall a_1,a_2\in A\left[f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)\Rightarrow a_1=a_2\right]\\ \forall \left(z,n\right)\in {\mathbb{Z}}^{+}\times \mathbb{N}\exists a\in A\left[f\left(a\right)=\left(z,n\right)\right]\\ g=f^{-1}\\ \left\{n\right\}\times \mathbb{N}=N_n\\ {\left(N_n\right)}_{n\in {\mathbb{Z}}^{+}}\\ {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{N}_n}={\mathbb{Z}}^{+}\times \mathbb{N}\\ n\ne n\text{'}\Rightarrow N_n\cap N_{n^{\prime }}=\varphi \\ A_n=g\left(a\right)\end{array}$