数学 – 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(2つの写像, 合成写像, 写像の存在)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題14.を解いてみる。

問題14.

$\begin{array}{l}\forall a,a\text{'}\in A\\ f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)\\ \Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(f\left(a\text{'}\right)\right)\\ \iff g°f\left(a\right)=g°f\left(a\text{'}\right)\\ \iff h\left(a\right)=h\left(a^{\prime }\right)\\ \\ \forall b\in f\left(A\right)\\ a\in f^{-1}\left(b\right)\\ g\left(b\right)=h\left(a\right)\\ \forall a\in A\\ g°f\left(a\right)\\ =g\left(f\left(a\right)\right)\\ =h\left(a\right)\end{array}$