数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 2次方程式と複素数(2数を解とする方程式)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.2(2次方程式と複素数)、2数を解とする方程式の問14.を解いてみる。

問14.

$α + β = 2, α β = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{l} (α + 3) + (β + 3) = 8 \\ (α + 3) (β + 3) \\ = \frac{5}{2} + 9 + 6 \\ = \frac{35}{2} \\ x^{2} - 8 x + \frac{35}{2} = 0 \\ 2 x^{2} - 16 x + 35 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} α^{2} + β^{2} \\ = {(α + β)}^{2} - 2 α β \\ = - 1 \\ α^{2} β^{2} = \frac{25}{4} \\ x^{2} + x + \frac{25}{4} = 0 \\ 4 x^{2} + 4 x + 25 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{1}{2 α - 1} + \frac{1}{2 β - 1} \\ = \frac{2 (α + β) - 2}{4 α β + 1 - 2 (α + β)} \\ = \frac{2}{7} \\ \frac{1}{2 α - 1} \cdot \frac{1}{2 β - 1} \\ = \frac{1}{7} \\ x^{2} - \frac{2}{7} x + \frac{1}{7} = 0 \\ 7 x^{2} - 2 x + 1 = 0 \end{array}$

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