数学 – 整数 - 素数、素因数分解(互いに素, 約数の総数, すべての約数の和)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問7.を解いてみる。

問7.

$a=p_1{}^{{\alpha }_1}···p_k{}^{{\alpha }_k},b=q_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}$

とおくと、仮定より、

$p_n{}^{{\alpha }_n}\ne q_m{}^{{\gamma }_m}$

となるので、小さい順に並べ、

$ab=r_1{}^{{{}^{\gamma }}_1}···r_{k+l}{}^{{\gamma }_k+l}$

とおくことができる。よって、

$\begin{array}{l}a=p_1{}^{{\alpha }_1}···p_k{}^{{\alpha }_k},b=q_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}\\ p_n{}^{{\alpha }_n}\ne q_m{}^{{\gamma }_m}\\ ab=r_1{}^{{{}^{\gamma }}_1}···r_{k+l}{}^{{\gamma }_k+l}\\ \tau \left(a\right)\tau \left(b\right)\\ =\left({\alpha }_1+1\right)···\left({\alpha }_k+1\right)·\left({\beta }_1+1\right)···\left({\beta }_l+1\right)\\ =\left({\gamma }_1+1\right)···\left({\gamma }_{k+l}+1\right)\\ =\tau \left(ab\right)\\ \sigma \left(a\right)\sigma \left(b\right)\\ =\frac{p_1{}^{{\alpha }_1+1}-1}{p_1-1}···\frac{p_k{}^{{\alpha }_k+1}-1}{p_k-1}·\frac{q_1{}^{{\beta }_1+1}-1}{q_1-1}···\frac{q_l{}^{{\beta }_l+1}-1}{q_l-1}\\ =\frac{r_1{}^{{\gamma }_1+1}-1}{r_1-1}···\frac{r_{k+l}{}^{{\gamma }_{k+l+1}}-1}{r_{k+l}-1}\\ =\sigma \left(ab\right)\end{array}$

となる。

証明終。