数学 – 集合と写像 - 集合間の演算(3つの集合, 和, 共通部分, 差)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂和夫 (著)

学習環境

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集合・位相入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(集合間の演算)、問題4.を解いてみる。

問題4.

$\begin{array}{l} x \in (A - (B \cup C)) \\ \Leftrightarrow x \in A \land \neg (x \in B \cup C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land \neg (x \in B \lor x \in C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land (x \notin B \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B) \land (x \in x \in A \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \land x \in (A - C) \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \cap (A - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in (A - (B \cap C)) \\ \Leftrightarrow x \in A \land \neg (x \in B \land x \in C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land (x \notin B \lor x \notin C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in A \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \lor x \in (A - C) \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \cup (A - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in (A \cup B) - C \\ \Leftrightarrow (x \in A \lor x \in B) \land x \notin C \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin C) \lor (x \in B \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow x \in A - B \lor x \in B - C \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \cup (B - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in (A \cap B) - C \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land x \notin C \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin C) \land (x \in B \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow x \in A - C \land x \in B - C \\ \Leftrightarrow x \in (A - C) \cap (B - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in A \cap (B - C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land (x \in B \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (x \in A \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin C \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land x \notin C \\ \Leftrightarrow ((x \in A \land x \in B) \land x \notin A) \lor ((x \in A \land x \in B) \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (x \notin A \lor x \notin C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land \neg (x \in A \land x \in C) \\ \Leftrightarrow x \in A \cap B \land \neg (x \in A \cap C) \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap B) - (A \cap C) \end{array}$

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2015年2月8日日曜日

数学 – 集合と写像 - 集合間の演算(3つの集合, 和, 共通部分, 差)

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