数学 – 整数 - 最大公約数(整数解の存在)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、3(最大公約数)、問3.を解いてみる。

問3.

問題の$\left(a_1,···,a_n\right)=d$ と系1から、

$a_1{u}_1+···+a_n{u}_n=d$

を満たす整数$u_1,···,u_n$ が存在する。

また、$d|m$ なので、

$dk=m$となる、整数$k$ が存在する。

よって、

$a_1{u}_{1}k+···+a_n{u}_{n}k=dk=m$

となり、$u_{1}k,···,u_{n}k$は問題の方程式の整数解となる。