数学 - 実数の演算(有理数と無理数の積)

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第1章(数学はここから始まる - 数)1.2(実数の演算と大小)問4を解いてみる。

問4.

$ab=c$

とし、 cを有理数と仮定する。aは0でない有理数なので、両辺を aで割ると、

$b=\frac{c}{a}$

となる。有理数は除法について閉じているので、右辺は有理数、左辺は無理数となり、矛盾。

よってcは無理数、すなわち積abは無理数となる。