数学学習の記録 86.3 微分可能な関数の和の微分可能性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを関数、その定義域を区間Iとし、関数f,gは区間Iで微分可能とする。

$\forall x\in I\exists f'(x),g'(x)\in R\\ \left[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right]$

また、関数f,gの和の関数、

$\forall x\in I[(f+g)(x)=f(x)+f(x)]$

を定義する。そのとき、

$\lim_{h\rightarrow0}{\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\\ =f'(x)+g'(x)$

まとめると、関数f,gが区間Iで微分可能ならば、関数f+gも微分可能で、

となる。

Kamimura's blog

2010年2月8日月曜日

数学学習の記録 86.3 微分可能な関数の和の微分可能性について。

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