数学学習の記録 86.2 微分可能な関数の定数倍の微分可能性について。

2010年2月8日月曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、定義域を区間I、そして区間Iで微分可能とする。

$\forall x\in I\exists f'(x)\in R\left[f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]$

そのとき、関数fの定数倍の関数、

$(cf)(x)=cf(x)(c\in R)$

について考える。

$(cf)'(x)\\<br />=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(cf)(x+h)-(cf)(x)}{h}}\\<br />=\lim_{h\rightarrow 0}{c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\<br />=cf'(x)$

よってf(x)が微分可能ならば(cf)(x)=cf(x)も微分可能で、

となる。