2010年2月8日月曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを関数、その定義域を区間Iとし、関数f,gは区間Iで微分可能とする。

\forall x\in I\exists f'(x),g'(x)\in R\\ \left[f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ g'(x)=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right]

このとき、関数f,gの積の関数、

(fg)(x)=f(x)g(x)

を定義する。すると、

\lim_{h\rightarrow0}{\frac{(fg)(x+h)-(fg)(x)}{h}}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}
=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\lim_{h\rightarrow0}{g(x+h)}+f(x)\lim_{h\rightarrow0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\\
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)



まとめると、定義域が区間Iの関数f,gが区間Iで微分可能ならば、

(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

が成り立つ。
時刻: 15:06 ラベル: , ,

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