数学学習の記録 86 関数が連続であるための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数とし、fの定義域はある区間Iを含むとする。また、aを区間Iの点とする。そのとき、fがaで微分可能と仮定する。

$\exists f'(a)\in R\forall x\in R\\ \left[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]$

そのとき、

$\forall x\in I\left[x\ne a\Rightarrow f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\right]$

より、

$\lim_{x\rightarrow a}{(f(x)-f(a)})\\ =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\\ =f'(a)\cdot0\\ =0$

よって、fはaにおいて連続である。

以上をまとめると、関数fが点aにおいて微分可能ならば、関数fは点aにおいて連続である。

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