数学学習の記録 80.2 実数列が収束するための必要十分条件(コーシー列)について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列を

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

とする。

この実数列が収束すると仮定すると。

$\exists1\alpha\in R\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\\ [(n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n)\Rightarrow (|a_{m}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2}\wedge$

$|a_{m}-\alpha|<\varepsilon)\Rightarrow |a_{m}-a_{n}|\\ =|(a_{m}-\alpha)-(a_{n}-\alpha)|\\ \leq|a_{m}-\alpha|\ +\ |a_{n}-\alpha|\\ <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon]$

よって、実数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

はコーシー列となる。

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\\ [(n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n)\Rightarrow |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon]$

逆に、実数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

がコーシー列と仮定すると、

$\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\\ [(n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n)\Rightarrow |a_{m}-a_{n}|<1]$

より、mは任意なので

$m=n_{0}$

とおけば、

$\forall n\in N[n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}-a_{n_{0}}|<1\\ \Rightarrow |a_{n}|<|a_{n_{0}}|\ +1]$

なので、

$\forall n\in N[|a_{n}|\leq\max\left\{|a_{0}|,|a_{1}|,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,|a_{n_{0}-1}|,|a_{n_{0}}|+1\right\}$

よって実数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

は有界なので、この数列の部分列極限が存在する。なので、ある部分列、部分列極限を

$(a_{n_{k}})\ ,\ \lim_{n_{k}\rightarrow\infty}a_{n_{k}}=\alpha$

とすると、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}'\in N\forall n_{k}\in \left\{n_{0},n_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \right\}\\ [n_{0}'\leq n_{k}\Rightarrow |a_{n_{k}}-\alpha|<\varepsilon]$

また、仮定より、

$\exists n_{0}''\in N\forall m,n\in N\\ [(n_{0}''\leq m\wedge n_{0}''\leq n)\Rightarrow|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon]$

ここで、

$n_{0}'''=\max\left\{n_{0}',n_{0}''\right\}$

とおけば、

$\forall n\in N[n_{0}'''\leq n\Rightarrow|a_{n}-\alpha|\\ =|(a_{n}-a_{n_{k}})+(a_{n_{k}}-\alpha)|\\ \leq|a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-\alpha|\\ <\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon]$

上記の流れ全体を記号も含めて記述し直すと、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon)\exists n_{0}''\in N\forall n\in N\\ [n_{0}'\leq n\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\varepsilon]$

よって、実数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

は収束する。

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha$

まとめると、実数列が収束するためにはその実数列がコーシー列であることが必要十分である。

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2010年2月2日火曜日

数学学習の記録 80.2 実数列が収束するための必要十分条件(コーシー列)について。

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