数学学習の記録 80.1 実数列とその部分列の極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列を

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

とする。この数列の任意の部分列を

$a_{n_{0}},a_{n_{1}},a_{n_{2}},\cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n_{k}},\cdot\ \cdot\ \cdot$

$((n_{k}\in N)_{k\in N}\wedge n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ <n_{k}<\ \cdot\ \cdot\ \cdot)$

とする。()について、数列、

$(n_{k})_{k\in N}$

は狭義単調増加と自然数列。

上記の数列、

$(a_{n})_{n\in N}$

が収束すると仮定する。

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha$

このとき、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\\ [n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\varepsilon]$

このとき、

$\exists k_{0}\in N\forall k\in N\\ [k_{0}\leq k\Rightarrow n_{0}\leq n_{k}\Rightarrow |a_{n_{k}}-\alpha|<\varepsilon]$

このことを記述し直すと、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon >0)\exists n_{0}\in N\forall n_{k}\in N\\ [n_{0}\leq n_{k}\Rightarrow |a_{n_{k}}-\alpha|<\varepsilon]$

よって部分列も $\alpha$ に収束する。

$\lim_{n_{k}\rightarrow\infty}a_{n_{k}}=\alpha$

以上をまとめると、数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

が収束するならば、その部分列も

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}$

に収束する。

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