数学学習の記録 80 Fibonacci数列から作成される実数列の収束と極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R}$

をFibonacci(フィボナッチ)数列とする。

$a_{0}=a_{1}=1,a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}(n\geq2)$

また、

$b_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}(n=1,2,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ )$

とする。このとき、

$b_{1}=\frac{a_{1}}{a_{0}}=\frac{1}{1}=1,b_{2}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=a_{1}+a_{0}=2,\\<br />\forall n\in N-\left\{1,2}[b_{n}\in Q\wedge b_{n}>1]$

となる。また、

$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}\\<br />\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{a_{n}}\\<br />b_{n+1}=1+\frac{1}{b_{n}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

このことから、

$b_{n+1}-b_{n}=(1+\frac{1}{b_{n}})-(1+\frac{1}{b_{n-1}})=\frac{b_{n-1}-b_{n}}{b_{n}b_{n-1}}$

となる。よって、

$b_{n+1}-b_{n},b_{n-1}-b_{n}$

は同符号で、

$|b_{n+1}-b_{n}|\ <\ |b_{n-1}-b_{n}|$

となる。よって、

$b_{n-1}<b_{n}\Rightarrow b_{n-1}<b_{n+1}<b_{n}\\<br />b_{n}<b_{n-1}\Rightarrow b_{n}<b_{n+1}<b_{n-1}$

このとき、

$b_{1}<b_{2}$

から、

$b_{1}<b_{3}<b_{5}<\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ <b_{2n-1}<\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ <b_{2n}<\cdot\ \cdot\ \cdot\ <b_{6}<b_{4}<b_{2}$

よって、奇数番号の数列、

$(b_{2n-1})$

は単調増加で上に有界なので収束する。また、偶数番号の数列、

$(b_{2n)_{n\in N}$

は単調減少で下に有界なので、収束する。このとき、上記の*より、

$b_{2n}=1+\frac{1}{b_{2n-1}}\ ,\ b_{2n-1}=1+\frac{1}{b_{2n-2}}$

なので、

$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n}=1+\frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n-1}}\ ,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n-1}=1+\frac{1}{\lim_{n\rightarrow}b_{2n}$

これを解くと、

$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n}=\frac{1+\sqrt{5} }{2}$

となる。よって、数列

$(b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}})_{n\in N$

は収束し、その極限は

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

となる。

Kamimura's blog

2010年2月2日火曜日

数学学習の記録 80 Fibonacci数列から作成される実数列の収束と極限について。

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