数学学習の記録 79.5 数列が収束するための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

単調増加で上に有界とする。

$a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

$\exists a\in R\forall n\in N[a_{n}\leq b]$

このとき、

$A=\left\{a\in R|\exists n\in N[a=a_{n}]\right\}$

とすると、Aは上に有界なので、sup A(上限)が存在し、

$\forall n\in N[a_{n}\leq \sup A]$

このとき、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N[\sup A-\varepsilon<a_{n_{0}}]$

となる。また、実数列は単調増加と仮定しているので、

$n_{0}\leq n\Rightarrow \sup A-\varepsilon<a_{n_{0}}\leq a_{n}$

よって、

$n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}-\sup A|<\varepsilon$

まとめると、上に有界な単調増加である数列は収束する。

$a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \leq b(a_{n},b\in R)$

$\exists1\alpha\in R[\lim_{n\right\infty}a_{n}=\alpha]$

$\exists1\alpha\in R\forall \varepsilon(\varepsilon>0) \exists n_{0}\in N\\<br />[n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\varepsilon]$

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