数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 定積分の計算、部分積分法、累乗、累乗根

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、演習問題13、14、15、16、17.の解答を求めてみる。

13. 
    
    ${\int }_0^a(a^{2}x-x^3)\mathrm{dx}$

    $={[\frac{a^2}{2}{x}^2-\frac{1}{4}{x}^4]}_0^a$

    $=\frac{a^4}{4}$
14. 
    
    ${\int }_0^a{(\sqrt{a}-\sqrt{t})}^2\mathrm{dt}$
    $={\int }_0^a(a-2\sqrt{a}\sqrt{t}+t)\mathrm{dt}$
    $=a^2-2\sqrt{a}·\frac{2}{3}{\left[t^{\frac{3}{2}}\right]}_0^a+\frac{1}{2}{\left[t^2\right]}_0^a$
    $=a^2-\frac{4}{3}{a}^2+\frac{1}{2}{a}^2$
    $=\frac{6-8+3}{6}{a}^2$
    $=\frac{a^2}{6}$
15. 
    
    ${\int }_0^1\frac{x\mathrm{dx}}{\sqrt{x^2+4}}$
    $={\left[\sqrt{x^2+4}\right]}_0^1$
    $=\sqrt{5}-2$
16. 
    
    ${\int }_0^1{z}^2\sqrt{1-z}\mathrm{dz}$
    $={\left[z^2(-\frac{2}{3}{(1-z)}^{\frac{3}{2}})\right]}_0^1+\frac{4}{3}{\int }_0^{1}z{(1-z)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{dz}$
    $=\frac{4}{3}({\left[z(-\frac{2}{5}{(1-z)}^{\frac{5}{2}})\right]}_0^1+\frac{2}{5}{\int }_0^1{(1-z)}^{\frac{5}{2}}\mathrm{dz})$
    $=\frac{4}{3}·\frac{2}{5}(-\frac{2}{7}){\left[{(1-z)}^{\frac{7}{2}}\right]}_0^1$
    $=\frac{4}{3}·\frac{2}{5}·\frac{2}{7}$
    $=\frac{16}{105}$
17. 
    
    $\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{dx}$
    $=x^2\sqrt{x^2+a^2}-\int 2x\sqrt{x^2+a^2}\mathrm{dx}$
    $=x^2\sqrt{x^2+a^2}-\frac{2}{3}{(x^2+a^2)}^{\frac{3}{2}}$
    ${\int }_0^a\frac{x^3}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{dx}$
    $={[x^2\sqrt{x^2+a^2}-\frac{2}{3}{(x^2+a^2)}^{\frac{3}{2}}]}_0^a$
    $=\sqrt{2}{a}^3-\frac{2}{3}·{\left(2a^2\right)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{\left(a^2\right)}^{\frac{3}{2}}$
    $=\sqrt{2}{a}^3-\frac{2}{3}·2^{\frac{3}{2}}·a^3+\frac{2}{3}·a^3$
    $=(\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{2}{3})a^3$
    $=\frac{2-\sqrt{2}}{3}{a}^3$