数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明、平方、平方根、相加平均と相乗平均

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題15.の解答を求めてみる。

15. 
    
    ${\left(\sqrt{ax+by}\right)}^2-{(a\sqrt{x}+b\sqrt{y})}^2$

    $=ax+by-a^{2}x-b^{2}y-2ab\sqrt{xy}$

    $=ax+(1-a)y-a^{2}x-{(1-a)}^{2}y-2a(1-a)\sqrt{xy}$

    $=ax+y-ay-a^{2}x-y+2ay-a^{2}y-2a\sqrt{xy}+2a^2\sqrt{xy}$

    $=ax+ay-a^{2}x-a^{2}y-2a\sqrt{xy}+2a^2\sqrt{xy}$

    $=a(x+y-ax-ay-2\sqrt{xy}+2a\sqrt{xy})$

    $=a((1-a)x+(1-a)y-2\sqrt{xy}(1-a))$

    $=ab(x+y-2\sqrt{xy})$

    $\ge ab(2\sqrt{xy}-2\sqrt{xy})$

    $=0$

    よって、

    ${\left(\sqrt{ax+by}\right)}^2\ge {(a\sqrt{x}+b\sqrt{y})}^2$

    $\sqrt{ax+by}\ge a\sqrt{x}+b\sqrt{y}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import sqrt
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y

print('15.')

a = 0.1
b = 1 - a
p = plot3d(
    sqrt(a * x + b * y),
    a * sqrt(x) + b * sqrt(y),
    (x, 0, 5),
    (y, 0, 5),
    show=False
)
p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.save('sample15.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample15.py 
15.
%