数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 一様同相写像、一様連続、全単射、完備、コーシー列

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題13の解答を求めてみる。

13. 
    

    X を完備な距離空間とし、 Y を X に一様同相な距離空間とする。

    ${\left(x_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

    を Y の任意のコーシー列とする。

    また、 X から Y への一様同相写像 f が存在すると仮定する。

    このとき、 任意の正の実数

    $\epsilon >0$

    に牡にある自然数 N が存在して、

    $n>N,m>N$

    と満たす2つの自然数に対して

    $d(x_n,x_m)<\epsilon$

    が成り立つ。

    f は一様同相なので、

    $d(f^{-1}\left(x_n\right),f^{-1}\left(x_m\right))<\epsilon$

    よって、

    ${\left(f^{-1}\left(x_n\right)\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

    はコーシー列である。

    ゆえに、 X のある元 a が存在して、

    $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}^{-1}\left(x_n\right)=a$

    よって、

    $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(f^{-1}\left(x_n\right)\right)=f\left(a\right)$

    $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=f\left(a\right)$

    ゆえに、 Y は完備である。

    （証明終）