数学 - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 行列の階数と1次方程式 - 乗算可能な2つの行列、不等式、行ベクトル、列ベクトル、1次独立

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、5(行列の階数と1次方程式)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   A を m x k 行列、 B を k × n 行列とする。

   $AB=\left(\sum _{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}\right)$

   は m × n 行列で、 その行ベクトルは

   $\begin{array}{l}{\left(AB\right)}_i=\sum _{j=1}^n\left(\sum _{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}\right)=\sum _{l=1}^k\left(\sum _{j=1}^n{b}_{lj}{a}_{il}\right)=\sum _{l=1}^k\left(\sum _{j=1}^d{b}_{lj}\right)a_{il}\\ (i=1,\dots ,m)\end{array}$

   行列 A の階数は、 行ベクトル

   $\begin{array}{l}{A}_i=(a_{i1},\dots ,a_{ik})\\ (i=1,\dots ,m)\end{array}$

   の中で1次独立なベクトルの最大個数。

   A と AB の行ベクトルを比較すれば、

   $rankAB\le rankA$

   である。

   B と AB の階数については、列ベクトルについて同様に考えれば、

   $rankAB\le rankB$