数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - だ円・双曲線と直線 - 外部の点、2本の接線、接点を通る直線、曲線、極

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、だ円・双曲線と直線の問20の解答を求めてみる。

20. 
    

    接点

    $Q_1,Q_2$

    をそれぞれ

    $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$

    とおくと、 接線の方程式はそれぞれ

    $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$

    $\frac{x_{2}x}{a^2}+\frac{y_{2}y}{b^2}=1$

    この接線は 点 P を通る ので、

    $\frac{x_1{x}_0}{a^2}+\frac{y_1{y}_0}{b^2}=1$

    $\frac{x_2{x}_0}{a^2}+\frac{y_2{y}_0}{b^2}=1$

    2点

    $Q_1,Q_2$

    を通る直線の方程式は

    $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

    以上より

    $(x_2-x_1)\frac{x_0}{a^2}+(y_2-y_1)\frac{y_0}{b^2}=0$

    $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{x_0{b}^2}{y_0{a}^2}$

    $y-y_1=-\frac{x_0{b}^2}{y_0{a}^2}(x-x_1)$

    $\frac{y_{0}y}{b^2}-\frac{y_0{y}_1}{b^2}=-\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{x_0{x}_1}{a^2}$

    $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{x_0{x}_1}{a^2}+\frac{y_0{y}_1}{b^2}$

    $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, solve, symbols, pprint, Rational

print('20.')

x, y, m = symbols('x, y, m', real=True)
a = 2
b = 1
eq = x ** 2 / a ** 2 + y ** 2 / b ** 2 - 1
ys = solve(eq, y)
px = -3
py = 4
pd = {x: px, y: py}
l = m * (x - px) + py
pprint(eq.subs({y: l}).expand())
d = (6 * m ** 2 + 8 * m) ** 2 - \
    4 * (m ** 2 + Rational(1, 4)) * (9 * m ** 2 + 24 * m + 15)
ms = solve(d)
l1, l2 = [l.subs({m: m0}) for m0 in ms]
l3 = solve(px * x / a ** 2 + py * y / b ** 2 - 1, y)[0]
p = plot(*ys,
         l1, l2, l3,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.save('sample20.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample20.py
20.
                                        2     
 2  2      2        2                  x      
m ⋅x  + 6⋅m ⋅x + 9⋅m  + 8⋅m⋅x + 24⋅m + ── + 15
                                       4      
%