数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 放物線・だ円・双曲線 - 双曲線 - 定線分、中点、長さ、等式、軌跡、直角双曲線

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.1(放物線・だ円・双曲線)、双曲線の問10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}A=(-c,0)\\ B=(c,0)\end{array}$

    とおく。

    このとき、

    $M=(0,0)$

    点 P を

    $(x,y)$

    とおく。

    このとき、

    $P{M}^2=PA·PB$

    $x^2+y^2=\parallel (-c-x,-y)\parallel \parallel (c-x,-y)\parallel$

    $x^2+y^2=\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$

    $x^4+2x^2{y}^2+y^4=({(x+c)}^2+y^2)({(x-c)}^2+y^2)$

    $x^4+2x^2{y}^2+y^4={(x^2-c^2)}^2+({(x+c)}^2+{(x-c)}^2)y^2+y^4$

    $x^4+2x^2{y}^2+y^4=x^4-2c^2{x}^2+c^4+(2x^2+2c^2)y^2+y^4$

    $2c^2{x}^2-2c^2{y}^2=c^4$

    $\frac{x^2}{\frac{c^2}{2}}-\frac{y^2}{\frac{c^2}{2}}=1$

    よって点 P の軌跡は双曲線で、その漸近線は

    $y=x$

    なので、 直角双曲線である。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, solve, Matrix, symbols

print('10.')

c = 2
a = Matrix([-c, 0])
b = Matrix([c, 0])
m = (a + b) / 2
x, y = symbols('x, y', real=True)
p = Matrix([x, y])
eq = (m - p).norm() ** 2 - (a - p).norm() * (b - p).norm()
ys = solve(eq, y)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
p = plot(*ys, -x, x,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample10.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py
10.
%