数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 定置関数、累乗、正規直交基底、射影、連続実関数のなすベクトル空間、積分によるスカラー積の定義

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   直交基底。

   $1$

   $t-\frac{⟨t,1⟩}{⟨1,1⟩}1$

   $=t-\frac{{\int }_0^{1}t\mathrm{dt}}{{\int }_0^{1}1\mathrm{dt}}$

   $=t-\frac{\frac{1}{2}}{1}$

   $=t-\frac{1}{2}$

   $t^2-\frac{⟨t^2,t-\frac{1}{2}⟩}{⟨t-\frac{1}{2},t-\frac{1}{2}⟩}(t-\frac{1}{2})-\frac{⟨t^2,1⟩}{⟨1,1⟩}1$

   $=t^2-\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}(t-\frac{1}{2})-\frac{1}{3}$

   $=t^2-t+\frac{1}{6}$

   正規直交基底。

   $\frac{1}{\sqrt{⟨1,1⟩}}=1$

   $\frac{t-\frac{1}{2}}{\sqrt{⟨t-\frac{1}{2},t-\frac{1}{2}⟩}}$

   $=\frac{t-\frac{1}{2}}{\sqrt{{\int }_0^1(t^2-t+\frac{1}{4})\mathrm{dt}}}$

   $=\frac{t-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$

   $=\frac{2\sqrt{3}(t-\frac{1}{2})}{\sqrt{4-6+3}}$

   $=2\sqrt{3}t-\sqrt{3}$

   $\frac{t^2-t+\frac{1}{6}}{\sqrt{⟨t^2-t+\frac{1}{6},t^2-t+\frac{1}{6}⟩}}$

   $=\frac{t^2-t+\frac{1}{6}}{\sqrt{{\int }_0^1(t^4-2t^3+\frac{4}{3}{t}^2-\frac{1}{3}t+\frac{1}{36})\mathrm{dt}}}$

   $=\frac{t^2-t+\frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{4}{9}-\frac{1}{6}+\frac{1}{36}}}$

   $=\frac{6\sqrt{5}(t^2-t+\frac{1}{6})}{\sqrt{36-90+80-30+5}}$

   $=6\sqrt{5}{t}^2-6\sqrt{5}t+\sqrt{5}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Integral, sqrt
from sympy.abc import t, x

print('5.')


def scalar_mul(f, g):
    return Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit()


class Test(TestCase):
    def test(self):
        f = 1
        g = 2 * sqrt(3) * t - sqrt(3)
        h = 6 * sqrt(5) * t ** 2 - 6 * sqrt(5) * t + sqrt(5)
        for u in [f, g, h]:
            for v in [f, g, h]:
                if u == v:
                    self.assertEqual(scalar_mul(u, v), 1)
                else:
                    self.assertEqual(scalar_mul(u, v), 0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py -v
5.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.246s

OK
%