2020年7月11日土曜日

学習環境

代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、問18の解答を求めてみる。



    1. a 2 - 3 a b + 4 b 2
      = ( a - 3 2 b ) 2 - 9 4 b 2 + 4 b 2
      = ( a - 3 2 b ) 2 + 5 4 b 2 0

      等号が成り立つのは、

      a = 3 2 b 5 4 b 2 = 0
      a = b = 0

      の場合。


    2. x 2 + y 2 - ( 4 x - 6 y - 13 )
      = ( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 0

      等号が成り立つ場合。

      x = 2 y = - 3

    3. b 2 + 2 ( 1 - a ) b + 2 a 2 - 6 a + 5
      ( 1 - a ) 2 - ( 2 a 2 - 6 a + 5 )
      = - a 2 + 4 a - 4
      = - ( a - 2 ) 2 0

      よって、

      b 2 + 2 ( 1 - a ) b + 2 a 2 - 6 a + 5 0

      等号が成り立つ場合。

      a = 2
      b 2 - 2 b + 1 = ( b - 1 ) 2

      よって、

      a = 2 b = 1

    4. a 4 + b 4 - ( a 3 b + a b 3 )
      = a 3 ( a - b ) + b 3 ( b - a )
      = ( a 3 - b 3 ) ( a - b )
      = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( a - b )
      = ( a - b ) 2 ( a 2 + a b + b 2 )
      b 2 - 4 b 2 0

      よって、

      a 4 + b 4 = a 3 b + a b 3

      等号が成り立つ場合。

      a = b

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y

print('18.')

fss = [(x ** 2 - 3 * x * y + 4 * y ** 2, ),
       (x ** 2 + y ** 2, 4 * x - 6 * y - 13),
       (2 * x ** 2 - 2 * x * y + y ** 2 - 6 * x + 2 * y + 5, ),
       (x ** 4 + y ** 4, x ** 3 * y + x * y ** 3)]
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for i, fs in enumerate(fss, 1):
    print(f'({i})')
    p = plot3d(*fs,
               (x, -10, 10),
               (y, -10, 10),
               show=False)
    p.xlabel = x
    p.ylabel = y

    for o, color in zip(p, colors):
        o.line_color = color
    p.save(f'sample18_{i}.png')

p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample18.py
18.
(1)
(2)
(3)
(4)
%

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