数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - 正の数に関する絶対不等式 - 相加平均と相乗平均、積が最大になる場合、和が最小になる場合

代数への出発
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)

代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、正の数に関する絶対不等式、問23、24の解答を求めてみる。

23. 
    

    和の値を k とおく。

    $a+b=k$
    $\frac{k}{2}\ge \sqrt{ab}$

    飴が成り立つのは、

    $a=b$

    のときなので、 両者が等しいとき積は最大となる。

    一定な積の値を k とおく。

    $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{k}$

    等号が成り立つのは

    $a=b$

    のときなので、両者 が等しいとき、和は最小となる。

    （証明終）

24. 
    
    1. 
       
       $a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a·\frac{1}{a}}=2$
    2. 
       
       $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2$
    3. 
       
       $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-2\ge 0$
    4. 
       
       $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 2\sqrt{ab}·2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$
    5. 
       
       $(a+b)\sqrt{ab}\ge 2\sqrt{ab}\sqrt{ab}=2ab$
       $\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import sqrt
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y

print('24.')

p = plot3d(sqrt(x * y),
           2 * x * y / (x + y),
           (x, 5, 100),
           (y, 5, 100),
           show=False)
p.save('sample24.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py 
24.
%