数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 距離空間が可分であるための十分条件、全有界(プレコンパクト)、開球、開被覆、高々可算、正の整数

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   

   任意の正の整数 n に対して、距離空間 Xは全有界なので、有限個の半径

   $\frac{1}{n}$

   の開球で被覆される。

   この有限個の開球の中心の集合を

   $A_n$

   とおく。

   このとき、 和集合

   $U_{n\in \text{ℕ}-\left\{0\right\}}{A}_n$

   は可算集合である。

   これと A とおく。

   x を X の任意の元とするとき、任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対して、

   $0<\frac{1}{m}<\epsilon$

   $0<m<\frac{1}{\epsilon }$

   を満たす正の整数 m をとると、

   $d(x,A_n)<\frac{1}{m}<\epsilon$

   よって、

   $x\in \stackrel{-}{A}$

   ゆえに、

   $X=\stackrel{-}{A}$

   となり、 A は X のたかだ可算な密部分集合である。

   ゆえに、 X は可分である。

   （証明終）