数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 距離空間の有限個のコンパクトな部分集合の話集合、開被覆、有限被覆

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $U_{\lambda \in \Lambda }{U}_{\lambda }$

   $U_{k=1}^n{A}_k$

   を和集合

   の任意の開被覆とする。

   このとき、

   $A_k\subset U_{\lambda =1}^n{U}_{\lambda }$

   で、

   $A_k$

   の開複覆で、これはコンパクトなので、ある有限被覆を含む。

   よって各

   $A_{\lambda }$

   の有限複覆の和集合は

   $U_{k=1}^n{A}_k$

   の有限被覆である。

   よって コンパクトである。

   （証明終）