数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 実数、n次元空間、ユークリッド距離と位相的に同値な2つの距離空間、包含関係

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題15の解答を求めてみる。

15. 
    

    集合

    ${\text{ℝ}}^n$

    の任意の元 a、 任意の正の実数

    $\epsilon >0$

    に対して、 任意の

    $B_2(a;\frac{\epsilon }{n})$

    の元 x に対して

    $d(a,x)\le n{d}_2(a,x)<n·\frac{\epsilon }{n}=\epsilon$

    よって

    $a\in B(a;\epsilon )$

    ゆえに

    $B_2(a;\frac{\epsilon }{n})\subset B(a;\epsilon )$

    また、

    $B(a;\epsilon )$

    の任意の元 y に対して、

    $d_2(a;y)\le d(a;y)<\epsilon$

    よって

    $y\in B(a;\epsilon )$

    ゆえに

    $\begin{array}{l}{B}_2(a;\epsilon )\subset B(a;\epsilon )\\ B_2(a,\frac{\epsilon }{n})\subset B(a;\epsilon )\end{array}$

    よって間14の結果 により 距離空間

    $({\text{ℝ}}^n,d),({\text{ℝ}}^n,d_2)$

    は位相的に同値である。

    $B_2(a;\frac{\epsilon }{n})$

    の任意の元 z に対して、

    $d_1(a;z)\le n{d}_2(a;z)<n·\frac{\epsilon }{n}=\epsilon$

    よって

    $z\in B_2(a;\epsilon )$

    ゆえに

    $B_1(a;\frac{\epsilon }{n})\subset B_2(a;\epsilon )$

    また、

    $B_1(a;\frac{\epsilon }{n})$

    の任意の元 w に対して、

    $d_2(a;w)\le d_1(a;w)<\frac{\epsilon }{n}<\epsilon$

    よって、

    $w\in B_2(a;\epsilon )$

    ゆえに

    $B_1(a;\frac{\epsilon }{n})\subset B_2(a;\epsilon )$

    よって 2つの距離空間

    $({\text{ℝ}}^n,d_1),({\text{ℝ}}^n,d_2)$

    は位相的に同値である。

    ゆえに3つの距離空間

    $({\text{ℝ}}^n,d),({\text{ℝ}}^n,d_1),({\text{ℝ}}^n,d_2)$

    は位相的に同値である。

    （証明終）