数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 2つの距離関数、距離空間、位相的に同値なための必要十分条件 | Kamimura's blog

2020年6月29日月曜日

数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 2つの距離関数、距離空間、位相的に同値なための必要十分条件

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題14の解答を求めてみる。

距離関数

$d_{1}, d_{2}$

が位相的に同値とする。

X の任意の元 a、任意の正の実数

$ε > 0$

に対して

$B_{1} (a; ε)$

は

$(X, d_{1})$

の開集合なので、仮定より

$(X, d_{2})$

の開集合でもある。

よって、ある正の実数

$δ_{2} > 0$

が存在して

$B_{2} (a; δ_{2}) \subset B_{1} (a; ε)$

同様に、ある正の実数

$δ_{1} > 0$

が存在して

$B_{1} (a; δ_{2}) \subset B_{2} (a; ε)$

よって

$δ = \min {δ_{1}, δ_{2}}$

とおけば、

$\begin{array}{l} B_{2} (a; δ) \subset B_{2} (a; δ_{1}) \\ B_{1} (a; δ) \subset B_{1} (a; δ_{1}) \end{array}$

ゆえに、

$B_{2} (a; δ) \subset B_{1} (a; ε) \land B_{1} (a; δ) \subset B_{2} (a; ε)$

逆について。

O を

$(X, d_{1})$

の任意の開集合、この任意の内点を a とする。

このとき、ある正の実数

$δ_{1} > 0$

が存在して

$B_{1} (a; δ_{1}) \subset O$

よって、仮定よりある正の実数

$δ_{2} > 0$

が存在して

$B_{2} (a; δ_{2}) \subset B_{1} (a; δ_{1})$

ゆえに

$B_{2} (a; δ_{2}) \subset O$

よって、○は

$(X, d_{2})$

の開集合である。

同様にして

$(X, d_{2})$

の任意の開集合は

$(X, d_{1})$

の開集合である。

よって、 2つの距離空間

$(X, d_{1}), (X, d_{2})$

は位相的に同値である。

（証明終）

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