数学 - Pytyhon - 解析学 - ベクトル - スカラー積 - 性質、可換律、スカラー倍、和と差、それ自身の内積

続 解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、3(スカラー積)の練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}{\left(A+B\right)}^2\\ =\left(A+B\right)·\left(A+B\right)\end{array}$

   性質 S P 2 より

   $\begin{array}{l}=\left(A+B\right)·A+\left(A+B\right)·B\\ =A·A+B·A+A·B+B·B\\ =A^2+B·A+A·B+B^2\end{array}$

   性質 SP 1より

   $\begin{array}{l}=A^2+A·B+A·B+B^2\\ =A^2+2A·B+B^2\end{array}$

   また、 B を一 B に置き換えると、

   $\begin{array}{l}{\left(A-B\right)}^2\\ ={\left(A+\left(-B\right)\right)}^2\\ =A^2+2A·\left(-B\right)+{\left(-B\right)}^2\end{array}$

   性質 SP 3より

   $\begin{array}{l}=A^2-2A·B+\left(-B\right)·\left(-B\right)\\ =A^2-2A·B+{\left(-1\right)}^{2}B·B\\ =A^2-2A·B+B^2\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}{\left(A+B\right)}^2=A^2+2A·B+B^2\\ {\left(A-B\right)}^2=A^2-2A·B+B^2\end{array}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, pi

print('3.')

As = [Matrix(t) for t in [(2, -1), (-1, 3), (2, -1, 5),
                          (-1, -2, 3), (pi, 3, -1), (15, -2, 4)]]
Bs = [Matrix(t) for t in [(-1, 1), (0, 4), (-1, 1, 1),
                          (-1, 3, -4), (2 * pi, -3, 7), (pi, 3, -1)]]


class TestScalarProduct(TestCase):
    def test(self):
        for A, B in zip(As, Bs):
            self.assertEqual((A + B).dot(A + B).expand(),
                             A.dot(A) + 2 * A.dot(B) + B.dot(B))
            self.assertEqual((A - B).dot(A - B).expand(),
                             A.dot(A) - 2 * A.dot(B) + B.dot(B))


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test (__main__.TestScalarProduct) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.045s

OK
%