数学 - Python - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 共通部分の内部と内部の共通部分、和集合の閉包と閉包の和集合、等式

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   x を距離空間 X の部分集合 A と B の共通部分の任意の内点とする。

   $x\in {(A\cap B)}^i$

   このとき、 ある正の実数

   $r>0$

   が存在して、

   $B(x;r)\subset A\cap B$

   よって、

   $B(x;r)\subset A\wedge B(x;r)\subset B$

   ゆえに、

   $x\in A^i\wedge x\in B^i$

   すなわち

   $x\in A^i\cap B^i$

   なので、

   ${(A\cap B)}^i\subset A^i\cap B^i$

   が成り立つ。

   x を A の内部と B の内部の共通部分の任意の元とする。

   $\begin{array}{l}x\in A^i\cap B^i\\ x\in A^i\wedge x\in B^i\end{array}$

   このとき、 ある2つの正の実数

   $r_1>0,r_2>0$

   が存在して、

   $B(x;r_1)\subset A\wedge B(x;r_2)\subset B$

   ここで

   $r=\min \{r_1,r_2\}$

   とおけば、

   $B(x;r)\subset A\wedge B(x;r)\subset B$

   $B(x;r)\subset A\cap B$

   よって、 x は A と B の共通部分の内点である。

   $x\in {(A\cap B)}^i$

   ゆえに

   ${(A\cap B)}^i\supset A^i\cap B^i$

   以上より、

   ${(A\cap B)}^i=A^i\cap B^i$

   が成り立つ。

   （証明終）

   x を A と B の和集合の閉包の任意の元とする。

   $x\in \stackrel{-}{A\cup B}$

   このとき任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対して

   $B(x;\epsilon )\cap (A\cup B)=\varphi$

   $(B(x;\epsilon )\cap A)\cup (B(x;\epsilon )\cap B)\ne \varphi$

   $B(x;\epsilon )\cap A\ne \varphi \vee B(x;\epsilon )\cap B\ne \varphi$

   よって、

   $x\in \stackrel{-}{A}\vee x\in \stackrel{-}{B}$

   $x\in \stackrel{-}{A}\cup \stackrel{-}{B}$

   ゆえに、

   $\stackrel{-}{A\cup B}\subset \stackrel{-}{A}\cup \stackrel{-}{B}$

   また、 x を A の閉包と B の閉包の共通部分の任意の元とする。

   $x\in \stackrel{-}{A}\cup \stackrel{-}{B}$

   $x\in \stackrel{-}{A}\vee x\in \stackrel{-}{B}$

   このとき、 任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対して、

   $B(x;\epsilon )\cap A\ne \varphi \vee B(x;\epsilon )\cap B\ne \varphi$

   $B(x;\epsilon )\cap (A\cup B)\ne \varphi$

   よって、

   $x\in \stackrel{-}{A\cup B}$

   ゆえに

   $\stackrel{-}{A\cup B}\supset \stackrel{-}{A}\cup \stackrel{-}{B}$

   以上より、

   $\stackrel{-}{A\cup B}=\stackrel{-}{A}\cup \stackrel{-}{B}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
import random
from sympy import Interval, symbols

print('8.')


class Test(TestCase):
    def test_interior_intersect_closure_union(self):
        for _ in range(10):
            a0, a1, b0, b1 = [random.randrange(-10, 11) for _ in range(4)]
            A = Interval(a0, a1)
            B = Interval(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval(a0, a1)
            B = Interval.Lopen(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval(a0, a1)
            B = Interval.Ropen(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval(a0, a1)
            B = Interval.open(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval.Lopen(a0, a1)
            B = Interval.Lopen(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval.Lopen(a0, a1)
            B = Interval.Ropen(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval.Lopen(a0, a1)
            B = Interval.open(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval.Ropen(a0, a1)
            B = Interval.Ropen(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval.Ropen(a0, a1)
            B = Interval.open(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)
            A = Interval.open(a0, a1)
            B = Interval.open(b0, b1)
            self.assertEqual((A & B).interior, A.interior & B.interior)
            self.assertEqual((A | B).closure, A.closure | B.closure)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test_interior_intersect_closure_union (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 1.247s

OK
%