数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 単純距離空間、離散空間、部分集合、開集合かつ閉集合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      

      a を単純距離空間 A の任意の点とする。

      1点 a のみから成る集合

      $\left\{a\right\}$

      について、

      $\begin{array}{l}B(a;\frac{1}{2})\\ =\{x\in A|d(a,x)<\frac{1}{2}\}\\ =\left\{a\right\}\end{array}$

      なので開集合である。

      よって、 a は孤立点である。

      ゆえに、 A は離散集合である。

      （証明終）

   2. 
      

      A と X の任意の部分集合とする。

      A の任意の元 a は孤立点なので、 a のみからなる集合

      $\left\{a\right\}$

      は開集合である。

      よって、 A は開集合の和集合なので開集合である。

      また、

      $X\backslash A$

      は X の部分集合なので開集合である。 よって A は閉集合である。

      （証明終）