数学 - 解析学 - 集合論初歩 - ツォルンの補題 - 有理数上の実ベクトル空間、基底、次元、濃度の比較、可算、連続、背理法

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.3(ツォルンの補題)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   有限基底をもって仮定し、

   ${\dim }_{\text{ℚ}}\text{ℝ}=n$

   とおき、基底を

   $\left\{v_n,\dots ,v_n\right\}$

   とする。

   このとき、 実数全体 の集合の任意の元は

   $\begin{array}{l}{x}_1{v}_1+\dots +x_n{v}_n\\ x_i\in \text{ℚ}\left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

   よって、 実数全体の集合の濃度は

   $\mathrm{card}{\text{ℚ}}^n=\mathrm{card}\text{ℕ}$

   以下である。

   ゆえに

   $\mathrm{card}\text{ℝ}\le \mathrm{card}\text{ℕ}$

   となり 矛盾。

   以上により、 実数全体の集合は有理数全体の集合上のベクトル空間として有限基底をもたない。

   （証明終）