数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 空間のベクトル - ベクトルの内積 - 3次元空間、2つベクトルがなす平行四辺形、面積、三角関数(正弦と余弦) | Kamimura's blog

2020年5月13日水曜日

数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 空間のベクトル - ベクトルの内積 - 3次元空間、2つベクトルがなす平行四辺形、面積、三角関数(正弦と余弦)

新装版数学読本3
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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問15の解答を求めてみる。

角

$∠ A O B$

の大きさを

$θ$

とする。

このとき、平行四辺形の面積は

$S = |\vec{O A}| |\vec{O B}| \sin θ$

この平方について考える。

$\begin{array}{l} S^{2} \\ = {|\vec{O A}|}^{2} {|\vec{O B}|}^{2} \sin^{2} θ \\ = {|\vec{O A}|}^{2} {|\vec{O B}|}^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = {|\vec{O A}|}^{2} {|\vec{O B}|}^{2} - {|\vec{O A}|}^{2} {|\vec{O B}|}^{2} \cos^{2} θ \\ = {|\vec{O A}|}^{2} {|\vec{O B}|}^{2} - {(|\vec{O A}| |\vec{O B}| \cos θ)}^{2} \\ = {|\vec{O A}|}^{2} {|\vec{O B}|}^{2} - {(\vec{O A} \cdot \vec{O B})}^{2} \\ = \sum_{k = 1}^{3} a_{k}^{2} \sum_{k = 1}^{3} b_{k}^{2} - {(\sum_{k = 1}^{3} a_{k} b_{k})}^{2} \\ = {(a_{1} b_{2})}^{2} + {(a_{1} b_{3})}^{2} + {(a_{2} b_{1})}^{2} + {(a_{2} b_{3})}^{2} + {(a_{3} b_{1})}^{2} + {(a_{3} b_{2})}^{2} \\ - (a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} + a_{2} a_{1} b_{2} b_{1} + a_{2} a_{3} b_{2} b_{3} + a_{3} a_{1} b_{3} b_{1} + a_{3} a_{2} b_{3} b_{2}) \\ = {(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} + {(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2})}^{2} + {(a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3})}^{2} \end{array}$

よって、平行四辺形の面積は

$S = \sqrt{{(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} + {(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2})}^{2} + {(a_{3} b_{1} - a_{2} b_{3})}^{2}}$

（証明終）

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