数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 開区間を含む実数全体の集合の部分集合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   S は実数全体の集合の部分集合なので、

   $\mathrm{card}S\le \mathrm{card}\text{ℝ}$

   S はある開区間 (a, b) を含むので

   $\mathrm{card}\left(a,b\right)\le \mathrm{card}S$

   開区間 (a, b)は実数全体の集合と対等なので、

   $\mathrm{card}\left(a,b\right)=\mathrm{card}\text{ℝ}$

   よって、

   $\mathrm{card}\text{ℝ}\le \mathrm{card}S\le \mathrm{card}\text{ℝ}$

   ゆえに、

   $\mathrm{card}S=\mathrm{card}\text{ℝ}$

   （証明終）