数学 - Pytyhon - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 方向微分係数 - 最大増加の向き、方向微分係数、長さ

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}gradf\left(x,y,z\right)\\ =grad\left({\left(x+y\right)}^2+{\left(y+z\right)}^2+{\left(z+x\right)}^2\right)\\ =\left(2\left(x+y\right)+2\left(z+x\right),2\left(y+z\right)+2\left(y+x\right),2\left(z+x\right)+2\left(z+y\right)\right)\\ =2\left(2x+y+z,x+2y+z,x+y+2z\right)\\ gradf\left(2,-1,2\right)\\ =2\left(4-1+2,2-2+2,2-1+4\right)\\ =2\left(5,2,5\right)\end{array}$

   よって 問題の関数の最大増加の向きは

   $\left(5,2,5\right)$

   方向微係数について。

   $\begin{array}{l}2\left(5,2,5\right)·\frac{\left(5,2,5\right)}{\left|\left(5,2,5\right)\right|}\\ =\frac{2{\left|\left(5,2,5\right)\right|}^2}{\left|\left(5,2,5\right)\right|}\\ =2\sqrt{5^2+2^2+5^2}\\ =2\sqrt{54}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, sqrt
from sympy.plotting import plot3d

print('6.')

x, y, z = symbols('x, y, z', real=True)
f = (x + y) ** 2 + (y + z) ** 2 + (z + x) ** 2
gradf = Matrix([f.diff(o, 1) for o in [x, y, z]])
a = {x: 2, y: -1, z: 2}
gradfa = gradf.subs(a)


class TestGrad(TestCase):
    def test_direction(self):
        self.assertEqual(gradfa, 2 * Matrix([5, 2, 5]))

    def test_directional_derivative(self):
        self.assertEqual(gradfa.norm(), 2 * sqrt(54))


for o in zip([x, y, z], [2, -1, 2]):
    p = plot3d(f.subs(dict([o])),
               show=False)
    p.save(f'sample6_{o[0]}.png')
p.show()
if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test_direction (__main__.TestGrad) ... ok
test_directional_derivative (__main__.TestGrad) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.003s

OK
%