数学 - Pytyhon - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 保存律 - 原点からの距離、反比例、向き、位置ベクトル、ポテンシャル関数、勾配ベクトル、対数関数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(保存律)の練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   C である定数とすると、 問題のベクトル場 F は

   $F\left(X\right)=C\frac{1}{∥X∥}·\frac{X}{∥X∥}$

   ポテンシャル関数は

   $\varphi \left(X\right)=C\log ∥X∥$

   実際に勾配ベクトルを求めてみる。

   $\begin{array}{l}grad\varphi \left(X\right)\\ =gradC\log ∥X∥\\ =Cgrad\log ∥X∥\end{array}$

   偏微分を考える。

   $X=\left(x_1,\dots ,x_n\right)$

   とおく。

   $\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x_i}\log ∥X∥\\ =\frac{\partial }{\partial x_i}\log \sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}\\ =\frac{1}{\sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}}·\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}\\ =\frac{x_i}{\sqrt{\sum _{k=r}^n{x}_k^2}\sqrt{\sum _{k^n}^n{x}_k^2}}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}grad\varphi \left(X\right)\\ =C\frac{1}{∥X∥}·\frac{X}{∥X∥}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
import random
from sympy import symbols, Matrix, log
from sympy.plotting import plot3d
print('1.')

C = symbols('C')
xs = symbols('x:2', real=True)
X = Matrix(xs)
f = C * X / X.norm() ** 2
phi = C * log(X.norm())
grad_phi = Matrix([phi.diff(xi, 1) for xi in xs])


class TestPotential(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(f, grad_phi)


p = plot3d(phi.subs({C: 1}),
           show=True)
p.save('sample1.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test (__main__.TestPotential) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.087s

OK
%