数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 無限集合、添字が連続の濃度の連続の濃度の集合の集合族、和集合、連続の濃度

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題13の解答を求めてみる。

13. 
    

    問題の仮定より、 全単射

    $\begin{array}{l}f:\text{ℝ}\to I\\ f_i:\text{ℝ}\to X_i\end{array}$

    が存在する。

    $i,j\in I,i\ne j$

    ならば

    $X_i\cap X_j=\varphi$

    の場合、 写像 h を

    $\begin{array}{l}h:\text{ℝ}\times \text{ℝ}\to U_{i\in I}{X}_i\\ h\left(a,b\right)=f_{f_i\left(a\right)}\left(b\right)\end{array}$

    と定義すると、任意の

    $\left(a,b\right),\left(c,d\right)\in \text{ℝ}\times \text{ℝ}$

    に対して

    $h\left(a,b\right)=h\left(c,d\right)$

    ならば ある i が存在して、

    $\begin{array}{l}{f}_{f\left(a\right)}\left(b\right)=f_{f\left(c\right)}\left(d\right)\\ f\left(a\right)=f\left(c\right)\\ a=c\\ f_{f\left(a\right)}\left(b\right)=f_{f\left(a\right)}\left(d\right)\\ b=d\\ \left(a,b\right)=\left(c,d\right)\end{array}$

    よって単射である。

    また、 任意の

    $x\in U_{i\in I}{X}_i$

    に対して、 ある i が存在して、

    $x\in X_i$

    また、ある実数 b が存在して、

    $f_i\left(b\right)=x$

    また、 ある 実数 a が存在して

    $f\left(a\right)=i$

    よって、

    $\begin{array}{l}{f}_{f\left(a\right)}\left(b\right)=x\\ h\left(a,h\right)=x\end{array}$

    ゆえに、 h は全射である。

    以上より h は全単射 である。

    よって、

    $\text{ℝ}\times \text{ℝ},U_{i\in I}{X}_i$

    は対等で、

    $\text{ℝ}\times \text{ℝ},\text{ℝ}$

    は対等なので、 実数全体の集合と

    $U_{i\in I}{X}_i$

    は対等である。

    ある I の元 i、 j が存在して、

    $i\ne j,X_i\cap X_j\ne \varphi$

    の場合、 上記の場合より、単射の存在を考えれば

    $\mathrm{card}{U}_{i\in I}{X}_i\le \mathrm{card}R$

    また、 問題の仮定より、

    $\begin{array}{l}\mathrm{card}{X}_i=\mathrm{card}\text{ℝ}\\ i\in I\end{array}$

    なので、

    $\mathrm{card}\text{ℝ}\le \mathrm{card}{U}_{i\in I}{X}_i$

    よって、

    $\mathrm{card}\text{ℝ}=\mathrm{card}{U}_{i\in I}{X}_i$

    である。

    （証明終）