数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 有界変動の関数 - 全変動、加法性、分割、分点、上界、上限、等式の証明

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、13.(有界変動の関数)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   
   $a=x_0<\dots <x_n=b$

   なる任意の分割を考える。

   c が分点に存在する場合。

   $\begin{array}{l}{t}_f\left(x_0,\dots ,x_n\right)\\ =t_f\left(a,\dots ,c\right)+t_f\left(c,\dots ,b\right)\\ \le T_f\left(a,c\right)+T_f\left(c,b\right)\end{array}$

   c が分点に存在しない場合。

   $x_i<c<x_{i+1}$

   とするし、

   $a=x_0<\dots <x_i<c<x_{i+1}<\dots <x_n=b$

   という分割を考えれば、 上記と同様に、

   $\begin{array}{l}{t}_f\left(x_0,\dots ,x_i,x_{i+1},\dots ,x_n\right)\\ \le t_f\left(a,\dots ,x_i,c,x_{i+1},\dots ,b\right)\\ =t_f\left(a,\dots ,c\right)+t_f\left(c,\dots ,b\right)\\ \le T_f\left(a,c\right)+T_f\left(c,b\right)\end{array}$

   よって、

   $T_f\left(a,b\right)\le T_f\left(a,c\right)+T_f\left(c,b\right)$

   また、

   $\begin{array}{l}a=x_0<\dots <x_k=c\\ c=x_k<\dots <x_n=b\end{array}$

   という任意の分割に対して、

   $\begin{array}{l}{t}_f\left(a,\dots ,c\right)+t_f\left(c,\dots ,b\right)\\ =t_f\left(a,·,c,\dots ,b\right)\\ \le T_f\left(a,b\right)\end{array}$

   よって、

   $T_f\left(a,c\right)+T_f\left(c,b\right)\le T_f\left(a,b\right)$

   ゆえに、

   $T_f\left(a,c\right)+T_f\left(c,b\right)=T_f\left(a,b\right)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, cos, pi
from sympy.plotting import plot_parametric

print('1.')

t = symbols('t')
f = t
g = t * cos(pi / t)
p = plot_parametric(f, g,
                    (t, 0.00001, 1),
                    xlim=(0, 2),
                    ylim=(-1, 1),
                    show=False)
p.show()
p.save(f'sample1.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py
1.
%